Modellierung von Faserwebe-Skew: analytische Grenzen und statistische Vorhersage

Faserwebe-Skew lässt sich für eine bestimmte Leiterplatte nicht als einzelne Zahl vorhersagen. Registrierungstoleranz und Ungleichmäßigkeit des Gewebes führen dazu, dass die Lage einer Leiterbahn relativ zu den Glasbündeln während der Fertigung dem Zufall unterliegt. Skew ist deshalb eine statistische Verteilung und kein fester Versatz. Zwei Modellierungsansätze adressieren das: eine analytische Methode, die die minimale und maximale Dielektrizitätszahl eines Fertigungsprozesses eingrenzt, und eine statistische Methode, die die Wahrscheinlichkeit vorhersagt, einen vorgegebenen Skew-Grenzwert für einen bestimmten Glasgewebetyp zu überschreiten.

Der vorherige Artikel dieser Serie hat beschrieben, wie der Fiber Weave Effect Intra-Pair-Skew in der differenziellen Signalübertragung verursachen kann und damit letztlich zum Schließen des Augendiagramms führt. Darauf aufbauend behandelt dieser zweite Teil einen wichtigen Aspekt des Problems: Faserwebe-Skew (FWS) ist von Natur aus zufällig und erfordert eine aufwendige Modellierung, um seine Auswirkungen genau zu erfassen. Um die Eigenschaften von FWS zu verstehen, betrachten wir zwei unterschiedliche Ansätze zur Modellierung dieses Phänomens. Der erste nutzt einfache analytische Formeln, um die Grenzen der Schwankung der Dielektrizitätszahl abzuschätzen, während der zweite ein Modellierungsframework für die statistische Skew-Vorhersage einführt. Bevor wir zu den Modellierungsansätzen kommen, lohnt es sich zu verstehen, warum FWS überhaupt zufällig ist.

Warum ist Faserwebe-Skew zufällig?

Weil die Ausrichtung zwischen Leiterbahn und Gewebe während der Fertigung dem Zufall unterliegt. Die Registrierungstoleranz erzeugt einen nicht kontrollierbaren Versatz zwischen dem Kupferbild und dem darunterliegenden Glasgewebe, und das Gewebe selbst ist ungleichmäßig. Zwei Leiterplatten, die aus identischen Gerber-Daten auf identischem Laminat gefertigt werden, können daher unterschiedlichen Skew aufweisen.

Der zufällige Charakter von FWS beruht größtenteils auf Fertigungsschwankungen, die sich in der Leiterplattenfertigung nicht vermeiden lassen. Selbst wenn ein Hersteller identische Gerber-Daten und dieselben Laminatmaterialien für eine Charge von 100 Leiterplatten verwendet, variiert die Ausrichtung zwischen Leiterbahn und Gewebe von Platte zu Platte zufällig. Ein wesentlicher Faktor ist die Registrierungstoleranz — der kleine, nicht kontrollierbare Versatz zwischen dem Kupferbild und dem darunterliegenden Glasgewebe. Dadurch kann Platte #1 den Hochgeschwindigkeitstest ohne Beanstandung bestehen, während Platte #2 wegen zu großem FWS durchfällt. Auch die Ungleichmäßigkeit des Gewebes spielt eine Rolle: Beim Weben bündeln, dehnen und verdrehen sich die Glasstränge und erzeugen eine unregelmäßige dielektrische Landschaft, wie in Abbildung 1 gezeigt.

Ingenieure können nicht vorhersagen oder steuern, wo genau eine Leiterbahn relativ zum Glasgewebe verläuft. Damit wird FWS zu einem statistischen Ergebnis. Man kann schlicht nicht behaupten, eine Leiterplatte werde exakt X ps/in Skew aufweisen.

FWS lässt sich auf verschiedene Weise modellieren. Manche Methoden konzentrieren sich auf den Worst-Case-Skew, andere liefern einen statistischen Rahmen für die Skew-Vorhersage. Der erste hier betrachtete Ansatz, vorgeschlagen von Bert Simonovich, nutzt einfache Gleichungen, um die Dielektrizitätszahl (Dk) einzugrenzen und den Worst-Case-Skew abzuschätzen.

Wie grenzt man die Dk-Schwankung ein? Simonovichs analytische Methode

Indem man zwei extreme Glasgewebetypen als statistische Stellvertreter verwendet. Der lockere, harzreiche Typ 106 setzt die untere Dk-Grenze, der dichte, glasreiche Typ 7628 die obere. Die Kombination ihrer 3-Sigma-Toleranzen ergibt ein Dkmin-/Dkmax-Paar, das den beiden Schenkeln eines differenziellen Paares zugewiesen werden kann, um den Worst-Case-Skew zu simulieren.

Statt die genaue Fasergewebegeometrie unter einem differenziellen Paar zu modellieren, liefert diese Methode einfache Gleichungen, die die minimalen und maximalen Dk-Werte für die Simulation differenzieller Paare abschätzen.

Zur Abschätzung dieser Dk-Extremwerte nutzt die Methode dielektrische Daten der Glasgewebetypen 106 und 7628 als statistische Stellvertreter. Der Typ 106 mit seinem lockeren Gewebe und hohem Harzanteil steht für das untere Dk-Extrem. Der Typ 7628 mit dichtem Gewebe und hohem Glasanteil steht für das obere Dk-Extrem. Beide sind in Abbildung 2 dargestellt.

Wichtig ist: Diese beiden Gewebetypen müssen in einem konkreten Leiterplattendesign gar nicht verwendet werden. Sie dienen allein dazu, die Bandbreite der Dk-Schwankung einzuklammern, die der Prozess eines Herstellers erzeugen kann. Sehen wir uns an, wie sich aus den dielektrischen Daten dieser beiden Laminate Grenzen für Dk abschätzen lassen.

Herleitung von Dkmin und Dkmax aus Materialdaten

Tabelle 1 zeigt die von Park Nelco angegebenen dielektrischen Werte für die Gewebetypen 106 und 7628 im Materialsystem N4000-13.

Tabelle 1: Dielektrische Werte für die Gewebetypen 106 und 7628 von Park Nelco. (Quelle: Simonovich 2011, mit freundlicher Genehmigung von Bert Simonovich.)

Für jeden Gewebetyp kann Dk als Zufallsvariable mit bekanntem Mittelwert und bekannter Standardabweichung betrachtet werden. Der Mittelwert des 7628-Gewebes ergibt sich beispielsweise zu:

Nach den Grundregeln der Statistik beträgt die Standardabweichung für dieses Webmuster:

Für den Gewebetyp 106 ergeben die vier Dk-Werte einen Mittelwert von Dkavg_106=3,34 und eine Standardabweichung von 𝜎106=0,13. Dieselbe Rechnung liefert für den Typ 7628 Dkavg_7628=3,97 und 𝜎7628=0,09.

Der zeitliche Skew in einem differenziellen Paar entsteht bekanntlich durch Unterschiede in der Dielektrizitätszahl, die jede Leiterbahn sieht. Da die statistische Schwankung des lokalen Dk durch die Extremwerte der Gewebetypen 106 und 7628 dargestellt wird, interessiert uns vor allem der Dk-Kontrast zwischen diesen beiden Materialien. Daher definieren wir ΔDk als Differenz ihrer Dielektrizitätszahlen:

Der Mittelwert von ΔDk ist einfach die Differenz der mittleren Dk-Werte der beiden Gewebetypen:

Das maximale ΔDk ergibt sich, indem die relativen 3-Sigma-Toleranzen beider Gewebe — jeweils als Bruchteil des mittleren Dk dieses Gewebes ausgedrückt — über eine quadratische Addition (RSS) kombiniert werden. Skaliert man dieses Ergebnis mit ΔDkavg und addiert es zu ΔDkavg, erhält man:

Aus diesen Werten wird ein Toleranzfaktor Tol gebildet:

Symmetrisch angewendet liefert Tol die lokalen Grenzen Dkmin und Dkmax:

und

Da die Differenz zwischen ΔDkmax und ΔDkavg die einseitige 3-Sigma-Streuung der ΔDk-Verteilung darstellt, könnte man fragen, warum der Toleranzfaktor Tol als die Hälfte dieser Streuung definiert ist. Der Grund: ΔDk erfasst den Dk-Unterschied zwischen den beiden Leiterbahnen, nicht die Schwankung jeder Bahn für sich. Um die Schwankung symmetrisch zu verteilen, wird der mittlere Dk-Wert des Typs 106 um die Hälfte der 3-Sigma-Streuung nach unten und der des Typs 7628 um denselben Betrag nach oben verschoben.

Mit diesen klaren Grenzen können Entwickler in einem EDA-Werkzeug (etwa Agilent ADS) Dkmin dem einen und Dkmax dem anderen Schenkel eines differenziellen Paares zuweisen und so den Worst-Case-Skew bestimmen.

Rechenbeispiel: Berechnete Dk-Grenzen im Vergleich zur MATLAB-Simulation

Das Whitepaper, das diese Methode einführt, enthält ein Zahlenbeispiel auf Basis der Daten aus Tabelle 1. Wir geben dieses Beispiel hier wieder und vergleichen seine berechneten Grenzen mit einer MATLAB-Simulation. Aus Tabelle 1 ergeben sich die relevanten Werte:

Auf dieser Grundlage sollen die Grenzen von Dk abgeschätzt werden.

Lösung:

Die mittlere Dk-Differenz zwischen den beiden Gewebetypen beträgt:

Das Maximum von ΔDk ergibt sich zu:

Das entspricht einem Toleranzfaktor von Tol=(0,72-0,63)/2≈0,05 und damit den folgenden Dk-Grenzen:

und

Zur Überprüfung haben wir die beiden Gewebetypen in MATLAB als unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit denselben Mittelwerten und Standardabweichungen modelliert. Mit 10.000 Stichproben je Gewebetyp erhalten wir das Histogramm aus 20.000 kombinierten Stichproben, wie in Abbildung 3 gezeigt.

Die beiden Spitzen spiegeln die zugrunde liegenden Normalverteilungen wider: Die rechte Spitze bildet die Dk-Schwankung des Typs 7628 ab, die linke die des Typs 106. Die roten gestrichelten Linien markieren die aus der Analyse berechneten Dk-Grenzen von 3,29 und 4,02. Die simulierten Daten reichen allerdings über diese Grenzen hinaus.

Die obige Simulation liefert nur eine einzige Realisierung der Extremwerte. Für einen belastbareren Vergleich wurde die Simulation 100-mal wiederholt und für jeden Durchlauf der minimale und maximale Dk-Wert festgehalten. Abbildung 4 zeigt die Verteilung dieser Minima und Maxima zusammen mit den berechneten Grenzen.

Statt des absoluten Minimums und Maximums jedes Durchlaufs, die empfindlich auf Stichprobengröße und Ausreißer reagieren, wurden die in Abbildung 4 gezeigten Grenzen über einen Quantilansatz berechnet. Konkret wurden aus den 20.000 kombinierten Stichproben jedes Durchlaufs das 0,135. und das 99,865. Perzentil bestimmt. Diese Perzentile entsprechen den ±3σ-Randwahrscheinlichkeiten der analytischen Methode, sodass der Vergleich konzeptionell konsistent bleibt.

Wie in Abbildung 4 zu sehen, liegt das Histogramm der Dk-Minima je Durchlauf etwas unterhalb der berechneten unteren Grenze, während das Histogramm der Maxima etwas oberhalb der berechneten oberen Grenze liegt. Das zeigt: Die analytische Methode liefert zwar eine nützliche Handrechnung zur Abschätzung der Dk-Grenzen, die simulierten Grenzen fallen jedoch etwas weiter aus als von den Gleichungen vorhergesagt.

Diese analytische Methode liefert zwar eine schnelle Abschätzung des Dk-Bereichs, sagt aber nichts über die Wahrscheinlichkeit der Dk-Extremwerte aus. Das führt uns zum zweiten Ansatz dieses Artikels, mit dem sich FWS für die Ausbeuteabschätzung analysieren lässt.

Wie sagt man Faserwebe-Skew statistisch vorher?

Indem man eine Leiterbahn in der elektromagnetischen Simulation über eine volle Periode des Gewebes verschiebt, die Laufzeit bei jedem Versatz ausliest und diesen Versatz als gleichverteilte Zufallsvariable behandelt. Die resultierende Verteilung liefert die Wahrscheinlichkeit, dass Laufzeit oder Skew einen gewählten Grenzwert überschreiten — und macht aus der Wahl des Gewebetyps eine Ausbeuteabschätzung.

In "Quantification of Delay and Skew Uncertainty due to Fiber Weave Effect in PCB Interconnects," schlagen Manukovsky, Shlepnev und Mordooch eine Methode zur statistischen Vorhersage von FWS vor. Der Ansatz modelliert das Gewebe als idealisierte Geometrie rechteckiger glasreicher und harzreicher Bereiche mit scharfen Grenzen, wie in Abbildung 5 gezeigt.

Der Versatz der Leiterbahn gegenüber dem Gewebemuster wird über eine volle Periode des Gewebes verschoben, und die Laufzeit an jeder Position wird aus der EM-Simulation ausgelesen. Dieser Versatz wird als gleichverteilte Zufallsvariable behandelt. Abbildung 6 zeigt die Laufzeit als Funktion des Bahnversatzes für vier verschiedene Gewebetypen.

Wie zu sehen ist, ähnelt die Laufzeitänderung über dem Versatz einer Sinusfunktion. Das ist eine natürliche Folge der Verschiebung der Leiterbahn über das periodische Glas-Harz-Muster. Aus der resultierenden Laufzeit-Versatz-Kurve wird die statistische Verteilung der Laufzeitabweichung berechnet und für jeden Gewebetyp als Histogramm dargestellt, wie in Abbildung 7 gezeigt.

Die größten Laufzeitabweichungen treten auf, wenn die Leiterbahn direkt über einem Glasbündel oder einem harzreichen Bereich verläuft. Mittlere Abweichungen entstehen in den Übergangszonen zwischen diesen beiden Extremen, wo die effektive Permittivität nahe ihrem Mittelwert liegt. Da die Leiterbahn mehr Strecke über den glas- und harzreichen Bereichen als in den Übergängen zurücklegt, ist das resultierende Histogramm der Laufzeitabweichung U-förmig: Werte nahe Minimum und Maximum sind am wahrscheinlichsten, Werte nahe dem Mittelwert am unwahrscheinlichsten.

Um diese Beobachtungen in ein praktisches Maß für die Unsicherheit zu überführen, wird die komplementäre kumulative Verteilungsfunktion (CCDF) der Laufzeitabweichung berechnet. Die CCDF in Abbildung 8 gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Laufzeitabweichung einen bestimmten Wert überschreitet.

Die Autoren führen eine spezielle Kennzahl ein, die Delay Deviation Exceedance (DDE). Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Laufzeitabweichung einen festgelegten Grenzwert überschreitet. Betrachten wir als Beispiel ein DDR-Design, das eine Laufzeitunsicherheit unter 3 ps/Zoll verlangt. Die Gewebetypen 1080 und 3313 würden diese Anforderung nicht erfüllen. Bei diesen Geweben liegt die Wahrscheinlichkeit, 3 ps/Zoll zu überschreiten, bei rund 50 % für 1080 und 61 % für 3313 — eine praktische Abschätzung der zu erwartenden Ausbeute bei Serienleiterplatten.

Ein ähnliches Verfahren wird in der Arbeit angewendet, um die Unsicherheit des Intra-Pair-Skews bei differenzieller Signalübertragung zu bewerten. Die Autoren berechnen die Differential Skew Exceedance (DSE), also die Wahrscheinlichkeit, dass der differenzielle Skew einen festgelegten Grenzwert überschreitet. Die resultierenden DSE-Wahrscheinlichkeiten für die untersuchten Gewebetypen zeigt Abbildung 9.

Die DSE-Daten zeigen beispielsweise, dass ein Skew-Grenzwert von 3 ps/Zoll nur vom Gewebetyp 1035 eingehalten würde, während die Wahrscheinlichkeit einer Überschreitung bei etwa 47 % für 1078, 67 % für 1080 und 77 % für 3313 liegt.

Wahrscheinlichkeiten, dass die Laufzeitabweichung (DDE) oder der Intra-Pair-Skew (DSE) 3 ps/Zoll überschreitet, für die in der Quellarbeit untersuchte Leiterbahngeometrie. Quelle: Manukovsky et al. 2023.

Grenzen und praktische Überlegungen

Jedes FWS-Modell bringt Annahmen mit sich, die man kennen sollte. In der vorliegenden Arbeit etwa wird das Gewebe mit scharfen Grenzen zwischen glasreichen und harzreichen Bereichen idealisiert, während reale Laminate gleitendere Übergänge aufweisen.

Zudem sind die Ergebnisse geometrieabhängig. Eine andere Leiterbahnbreite oder ein anderer Leitungsabstand kann zu anderen Laufzeit- und Skew-Schwankungen führen. Jedes Design sollte daher eigene DDE- und DSE-Kurven aus EM-Simulationen oder Messungen für die vorgesehene Leiterbahngeometrie ableiten.

Eine weitere Einschränkung der Analyse: Sie betrachtet ausschließlich Leiterbahnen, die parallel zu den Glasbündeln verlaufen. Schräg geführte Bahnen können anders mit dem Gewebe wechselwirken und ein abweichendes Muster der Laufzeit- und Skew-Schwankung zeigen.

Fazit

Für FWS existieren zahlreiche Modellierungsansätze, jeder mit eigenen Stärken und Grenzen — die beiden hier betrachteten sind nur repräsentative Beispiele. Die analytische Methode liefert eine schnelle Handrechnung für den Dk-Bereich, sagt aber nichts darüber aus, wie wahrscheinlich die Extremwerte sind. Die statistische Methode kostet mehr Aufwand und liefert dafür etwas, das die erste nicht kann: eine Wahrscheinlichkeit und damit eine Ausbeuteabschätzung. Das Verständnis solcher Methoden erlaubt es Ingenieuren, den Entwurfsraum vorausschauend zu erkunden, sichere Budgets für Leiterbahnlängen festzulegen und zu entscheiden, ob Gegenmaßnahmen wie Sende-De-Emphasis oder schräge Leitungsführung nötig sind, bevor die Fertigung beauftragt wird. Ebenso wichtig ist die Fähigkeit, die zu erwartende Ausbeute bei vorhandenem FWS abzuschätzen — das hilft, Leistungsziele und Fertigungsrealität in Einklang zu bringen.

Weiterführende Artikel

Teil 1: Den Fiber Weave Effect verstehen: vom Glasgewebe zum differenziellen Skew

Teil 2: Modellierung des Faserwebe-Skews (dieser Artikel)

Teil 3: Faserwebe-Skew verringern — von Spread Glass bis zum Leitungswinkel (in Kürze)

Häufig gestellte Fragen

Warum ist Faserwebe-Skew zufällig?

Die Ausrichtung zwischen Leiterbahn und Gewebe unterliegt während der Fertigung dem Zufall. Die Registrierungstoleranz erzeugt einen kleinen, nicht kontrollierbaren Versatz zwischen dem Kupferbild und dem darunterliegenden Glasgewebe, und das Gewebe selbst ist ungleichmäßig, weil sich die Glasbündel beim Weben bündeln, dehnen und verdrehen. Ein Hersteller kann 100 Leiterplatten aus identischen Gerber-Daten auf identischem Laminat fertigen, und jede hat ein etwas anderes Verhältnis von Leiterbahn zu Gewebe. Eine Platte besteht den Hochgeschwindigkeitstest, die nächste fällt durch.

Lässt sich Faserwebe-Skew für eine bestimmte Leiterplatte exakt vorhersagen?

Nein. Da die Lage der Leiterbahn relativ zum Gewebe zufällig ist, ist Skew eine statistische Verteilung und kein fester Wert. Man kann nicht behaupten, eine Platte werde exakt X ps/Zoll Skew aufweisen. Möglich ist dagegen, den Bereich analytisch einzugrenzen oder die Wahrscheinlichkeit einer Überschreitung eines gewählten Grenzwerts zu berechnen und als Ausbeuteabschätzung zu verwenden.

Wie schätzt man die Worst-Case-Dk-Schwankung durch das Fasergewebe ab?

Simonovichs analytische Methode nutzt zwei extreme Glasgewebetypen als statistische Stellvertreter: den lockeren, harzreichen Typ 106 für die untere und den dichten, glasreichen Typ 7628 für die obere Dk-Grenze. Die relativen 3-Sigma-Toleranzen beider Typen werden quadratisch addiert, mit der mittleren Dk-Differenz skaliert, halbiert — das ergibt den Toleranzfaktor — und symmetrisch um den Mittelwert jedes Typs angewendet. Im Rechenbeispiel ergeben sich daraus die Grenzen Dkmin = 3,29 und Dkmax = 4,02, die den beiden Schenkeln eines differenziellen Paares in einem EDA-Werkzeug zugewiesen werden können, um den Worst-Case-Skew zu simulieren.

Was sind DDE und DSE?

Delay Deviation Exceedance (DDE) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Laufzeitabweichung auf einer Single-Ended-Leiterbahn einen festgelegten Grenzwert überschreitet. Differential Skew Exceedance (DSE) ist das Gegenstück für den Intra-Pair-Skew eines differenziellen Paares. Beide werden aus der komplementären kumulativen Verteilungsfunktion der Laufzeit abgeleitet, die sich ergibt, wenn eine Leiterbahn in der elektromagnetischen Simulation über eine Periode des Gewebes verschoben wird. Sie übersetzen die Wahl eines Gewebetyps in eine quantifizierte Ausfallwahrscheinlichkeit.

Welche Glasgewebetypen sind für Faserwebe-Skew am ungünstigsten?

Von den vier in der Quellarbeit untersuchten Typen ist 3313 bei einem Grenzwert von 3 ps/Zoll der ungünstigste: Die Wahrscheinlichkeit, diesen differenziellen Skew-Grenzwert zu überschreiten, liegt bei 77 %, gefolgt von 1080 mit 67 % und 1078 mit 47 %. Nur 1035 hält den Grenzwert mit 0 % klar ein. Diese Werte gelten für die in der Arbeit modellierte Leiterbahngeometrie; eine andere Bahnbreite oder ein anderer Paarabstand verschiebt sie.

Warum weichen die analytischen und die simulierten Dk-Grenzen voneinander ab?

Im Konzept stimmen sie überein, in der Breite unterscheiden sie sich. Modelliert man die beiden Gewebetypen als unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen und zieht 20.000 Stichproben je Durchlauf über 100 Durchläufe, liegen die simulierten Minima etwas unter der berechneten unteren Grenze und die Maxima etwas über der oberen. Die analytischen Gleichungen bleiben eine nützliche Handrechnung, sind aber geringfügig zu optimistisch, was die Reichweite der Extremwerte angeht.

Quellen:

Simonovich, Lambert. 2011. „Practical Fiber Weave Effect Modeling.“ White Paper, Ausgabe 2. LAMSIM Enterprises Inc., 10. Januar. http://www.lamsimenterprises.com/Practical_Fiber_Weave_Modeling_Iss2_Jan10-11.pdf.

Manukovsky, Alex, Yuriy Shlepnev und Shimon Mordooch. 2023. „Quantification of Delay and Skew Uncertainty due to Fiber Weave Effect in PCB Interconnects.“ Vortrag auf der 2023 IEEE 32nd Conference on Electrical Performance of Electronic Packaging and Systems (EPEPS), Milpitas, CA, USA, 15.–18. Oktober. https://www.simberian.com/AppNotes/FWE_Quantification_EPEPS_2023_final.pdf.